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四分之一乘以5列式为：1/4*5=5/4
，分母仍为4，而分母为5。即四分之五
。第二道20乘以四分之一道理等同前一道 ，只不过把分子换成20
，但这里20的分子和分母4可以约分，即20*1/4=20/4 ，约分后等于5。遇到同类题记住保留原有的分母不变
，降分子与被乘数或者乘数相乘，得到的结果上下分子分母可以约分的话记得要除掉相同的除数 。

2021-08-14,怎样理解分数乘除法法则

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分数乘法

　一、分数乘法

　(一) 、分数乘法的计算法则：

　1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变
。(整数和分母约分)

　2
、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子 ，分母相乘的积做分母。

　3、为了计算简便
，能约分的要先约分，再计算 。

　注意：当带分数进行乘法计算时 ，要先把带分数化成假分数再进行计算
。

　(二) 、规律：(乘法中比较大小时)

　一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。

　一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)
，积小于这个数 。

　一个数(0除外)乘1，积等于这个数
。

　(三)
、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

　(四)、整数乘法的交换律 、结合律和分配律 ，对于分数乘法也同样适用 。

　乘法交换律：a×b=b×a

　乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

　乘法分配律：(a+b)×c=ac+bcac+bc=(a+b)×c

　二
、分数乘法的解决问题

　(已知单位“1”的量(用乘法)
，求单位“1
”的几分之几是多少)

　1、找单位“1”：在分率句中分率的前面;或“占 ” 、“是
”
、“比”的后面

　2、求一个数的几倍：一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少：一个数×
。

　3 、写数量关系式技巧：

　(1)“的 ”相当于“×
”“占”
、“是 ”、“比
”相当于“=”

　(2)分率前是“的 ”：单位“1
”的量×分率=分率对应量

　(3)分率前是“多或少”的意思：单位“1 ”的量×(1分率)=分率对应量

分数除法

　一 、分数除法

　1、分数除法的意义：

　分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数 ，求另一个因数的运算。

　2
、分数除法的计算法则：除以一个不为0的数
，等于乘这个数的倒数 。

　3、规律(分数除法比较大小时)：(1) 、当除数大于1，商小于被除数;

　(2)
、当除数小于1(不等于0) ，商大于被除数;(3)、当除数等于1
，商等于被除数。

　4 、“”叫做中括号
。一个算式里，如果既有小括号 ，又有中括号
，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

　二
、分数除法解决问题

　(未知单位“1
”的量(用除法)：已知单位“1”的几分之几是多少 ，求单位“1 ”的量 。)

　1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

　(1)分率前是“的
”：单位“1”的量×分率=分率对应量

　(2)分率前是“多或少 ”的意思：单位“1
”的量×(1分率)=分率对应量

　2 、解法：(建议：用方程解答)

　(1)方程：根据数量关系式设未知量为X，用方程解答
。

　(2)算术(用除法)：分率对应量÷对应分率=单位“1”的量

　3
、求一个数是另一个数的几分之几：就一个数÷另一个数

　4、求一个数比另一个数多(少)几分之几：

　①求多几分之几：大数÷小数–1②求少几分之几：1-小数÷大数

　或①求多几分之几(大数-小数)÷小数②求少几分之几：(大数-小数)÷大数

　针对练习：

　1 、果园里有桃树560棵
，占果树总数的1/2，果园里一共有果树多少棵?

　2
、一条裤子75元 ，是一件上衣价格的1/2
，一件上衣多少钱?

　3、一个修路队修一条路，第一天修了全长1/2 ，正好是160米
，这条路全长是多少米?

　4 、幼儿园买来2千克水果糖，是买来的牛奶糖的1/2 ，买来牛奶糖多少千克?

　5、新风小学去年植树320棵
，相当于今年植树棵数的1/2，今年去年共植树多棵?

　6
、一桶水 ，用去它的1/2
，正好是15千克，这桶水重多少千克?

　7、王新买了一本书和一枝钢笔 ，书的价格是4元，正好是钢笔价格的1/2
，钢笔价格是多少元?

　7 、一种小汽车的最快速度是每小时行140千米，相当于一种超音速飞机速度的1/2 ，这种超音速飞机每小时飞行多少千米?

比和比的应用

(一)
、比的意义

　1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

　2 、在两个数的比中
，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项 。比的前项除以后项所得的商 ，叫做比值
。

　例如15：10=15÷10=(比值通常用分数表示
，也可以用小数或整数表示)

　∶∶∶∶

　前项比号后项比值

　3
、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比 ，得到一个新量 。例：路程÷速度=时间
。

　4、区分比和比值

　比：表示两个数的关系
，可以写成比的形式，也可以用分数表示。

　比值：相当于商 ，是一个数
，可以是整数，分数 ，也可以是小数 。

　5 、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式
。

　6
、比和除法、分数的联系：

　比前项比号“： ”后项比值

　除法被除数除号“÷
”除数商

　分数分子分数线“—”分母分数值

　7 、比和除法
、分数的区别：除法是一种运算
，分数是一个数，比表示两个数的关系。

　8、根据比与除法 、分数的关系 ，可以理解比的后项不能为0 。

　体育比赛中出现两队的分是2：0等
，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。

　(二)、比的基本性质

　1
、根据比、除法 、分数的关系：

　商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外) ，商不变
。

　分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)
，分数值不变。

　比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变 。

　2
、最简整数比：比的前项和后项都是整数 ，并且是互质数
，这样的比就是最简整数比
。

　3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。

　4.化简比：

　①用比的前项和后项同时除以它们的公因数 。

　(1)②两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数 ，再按化简整数比的方法来化简
。

　③两个小数的比：向右移动小数点的位置
，先化成整数比再化简。

　(2)用求比值的方法 。注意:最后结果要写成比的形式
。

　如：15∶10=15÷10==3∶2

　5.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配 。

　如：已知两个量之比为，则设这两个量分别为
。

　6 、路程一定 ，速度比和时间比成反比。(如：路程相同，速度比是4：5
，时间比则为5：4)

　工作总量一定，工作效率和工作时间成反比 。

　(如：工作总量相同 ，工作时间比是3：2
，工作效率比则是2：3)

圆柱与圆锥

　一
、圆柱的特征：

　1、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面 ，底面是平面
，侧面是曲面，。

　2 、圆柱的高：圆柱两个底面之间的距离叫做高
。圆柱的高有无数条。

　3
、圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面沿高展开后是长方形 ，长方形的长等于圆柱底面的周长
，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时 ，侧面沿高展开后是一个正方形 。

　4、圆柱的侧面积=底面周长×高即S侧=Ch或2πr×h

　5 、圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2即S表=S侧+S底×2或2πr×h+2×πr2

　6
、圆柱的体积=圆柱的底面积×高
，即V=sh或πr2×h

　7、将一张长方形围成圆柱有两种方法，将一张长方形进行旋转一般也有两种
。

　(进一法：实际中 ，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此
，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小 ，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法 。)

　二 、圆锥的特征：

　1、圆锥只有一个底面
，底面是个圆
。圆锥的侧面是个曲面。

　2
、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高 。圆锥只有一条高
。(测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面 ，竖直地量出平板和底面之间的距离。)

　3、把圆锥的侧面展开得到一个扇形 。4 、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一
，即V锥=Sh或V锥=πr2×h

　5
、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积(求侧面积);② 、压路机压过路面长度(求底面周长);③
、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);④、厨师帽(求侧面积和一个底面积);通风管(求侧面积)
。

　6 、圆柱和圆锥的特征

　圆柱圆锥

　底面两个底面完全相同，都是圆形。一个底面 ，是圆形 。

　侧面曲面
，沿高剪开，展开后是长方形。曲面 ，沿顶点到底面圆周上的一条线段剪开
，展开后是扇形
。

　高两个底面之间的距离，有无数条。顶点到底面圆心的距离 ，只有一条 。

　针对练习：

　1
、圆柱形队鼓的侧面由铝皮围成，上、下底面蒙的是羊皮
。队鼓的底面直径是6分米
，高是2.6分米。做一个这样的队鼓，至少需要铝皮多少平方分米?羊皮呢?

　2 、一个圆柱形的油桶 ，底面直径是0.6米
，高是1米 。做一个这样的油桶至少需要多少平方米铁皮?(得数保留两位小数)

　3.做一根长2米
、管口直径0.15米的白铁皮通风管，至少需要白铁皮多少平方米?

　4.一个圆柱形的灯笼 ，底面直径是24厘米
，高是30厘米
。在灯笼的下底和侧面糊上彩纸，至少要多少平方厘米的彩纸?

圆

　一、认识圆

　1 、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。

　2、圆心：将一张圆形纸片对折两次 ，折痕相交于圆中心的一点
，这一点叫做圆心 。一般用字母O表示
。它到圆上任意一点的距离都相等.

　3
、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示 。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径
。

　4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示 。直径是一个圆内最长的线段。

　5 、圆心确定圆的位置 ，半径确定圆的大小
。

　6
、在同圆或等圆内
，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等 ，所有的直径都相等 。

　7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍
，半径的长度是直径的
。用字母表示为：d=2r或r=

　8、轴对称图形：

　如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合 ，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴 。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)

　9 、长方形
、正方形和圆都是对称图形
，都有对称轴
。这些图形都是轴对称图形。

　10、只有1一条对称轴的图形有：角 、等腰三角形
、等腰梯形、扇形 、半圆 。

　只有2条对称轴的图形是：长方形

　只有3条对称轴的图形是：等边三角形

　只有4条对称轴的图形是：正方形;

　有无数条对称轴的图形是：圆
、圆环
。

　二、圆的周长

　1 、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示 。

　2、圆周率实验：

　在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐 ，在直尺上滚动一周
，求出圆的周长
。

　发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。

　3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数 ，我们把它叫做圆周率 。

　用字母π(pai)表示。

　(1)
、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些
，这个比值是一个固定的数
。

　圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π≈3.14 。

　(2)、在判断时 ，圆周长与它直径的比值是π倍
，而不是3.14倍
。

　(3) 、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。

　4
、圆的周长公式：C=πdd=C÷π

　或C=2πrr=C÷2π

　5、在一个正方形里画一个的圆，圆的直径等于正方形的边长 。

　在一个长方形里画一个的圆 ，圆的直径等于长方形的宽
。

　6 、区分周长的一半和半圆的周长：

　(1)周长的一半：等于圆的周长÷2计算方法：2πr÷2即πr

　(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：πr+2r

百分数

　一
、百分数的意义和写法

　1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几 。

　百分数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比
。

　2 、千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。

　3
、百分数和分数的主要联系与区别：

　(1)联系：都可以表示两个量的倍比关系 。

　(2)区别：

　①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系
，不能表示具体的数量，所以不能带单位;

　分数既可以表示具体的数 ，又可以表示两个数的关系
，表示具本数时可以带单位
。

　② 、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;

　分数的分子不能是小数 ，只能是除0以外的自然数。

　4
、百分数的写法：通常不写成分数形式
，而在原来分子后面加上“% ”来表示 。

　二、百分数和分数 、小数的互化

　(一)百分数与小数的互化：

　1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

　2.百分数化成小数：把小数点向左移动两位 ，同时去掉百分号
。

　(二)百分数的和分数的互化

　1
、百分数化成分数：

　先把百分数化成分数
，先把百分数改写成分母是否100的分数，能约分要约成最简分数。

　2、分数化成百分数：

　①用分数的基本性质 ，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数
，再写成百分数形式 。

　②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数) ，再把小数化成百分数
。

　(三)常见的分数与小数 、百分数之间的互化

　=0.5=50% =0.2=20% =0.625=62.5%

　=0.25=25% =0.4=40% =0.125=12.5%

　=0.75=75% =0.6=60% =1.375=37.5%

　=0.0625=6.25% =0.8=80% =0.875=87.5%

　=0.04=4﹪ =0.08=8﹪= 0.12=12﹪ =0.16=16﹪

　三
、用百分数解决问题

　(一)一般应用题

　1、常见的百分率的计算方法：

　①合格率=②发芽率=

　③出勤率=④达标率=

　⑤成活率=⑥出粉率=

　⑦烘干率=⑧含水率=

　一般来讲，出勤率 、成活率
、合格率、正确率能达到100%
，出米率 、出油率达不到100%，完成率
、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80% ，出油率在30 、40% 。)

　2
、已知单位“1
”的量(用乘法)
，求单位“1”的百分之几是多少的问题：

　数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：

　(1)分率前是“的 ”：单位“1”的量×分率=分率对应量

　(2)分率前是“多或少
”的意思：单位“1”的量×(1分率)=分率对应量

　3、未知单位“1 ”的量(用除法)，已知单位“1
”的百分之几是多少 ，求单位“1”
。

　解法：(建议：用方程解答)

　(1)方程：根据数量关系式设未知量为X
，用方程解答。

　(2)算术(用除法)：分率对应量÷对应分率=单位“1 ”的量

　4 、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题：

　两个数的相差量÷单位“1
”的量×100%或：

　①求多百分之几：(大数-小数)÷小数

　②求少百分之几：(大数-小数)÷大数

　(二)、折扣

　1
、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣 。通称“打折”
。

　几折就表示十分之几 ，也就是百分之几十。例如八折==80﹪,六折五=0.65=65﹪

　2、一成是十分之一
，也就是10% 。三成五就是十分之三点五，也就是35%

　(三) 、纳税

　1
、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定 ，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家
。

　2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济 、科技
、教育、文化和国防安全等事业 。

　3 、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。

　4
、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率
。

　5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入×税率

　(四)利息

　1 、存款分为活期
、整存整取和零存整取等方法。

　2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社
，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设 ，也使得个人用钱更加安全和有计划，还可以增加一些收入 。

　3 、本金：存入银行的钱叫做本金
。

　4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。

　5
、利率：利息与本金的比值叫做利率 。

　6、利息的计算公式：利息=本金×利率×时间

　7 、注意：如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税)
，则：

　税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)

扇形统计图

一
、扇形统计图的意义：

　用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系
。

　也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。

　二、常用统计图的优点：

　1 、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少 。

　2
、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少 ，还可以清晰看出数量的增减变化情况
。

　3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。

　三 、扇形的面积大小：

　在同一个圆中
，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大 ，扇形越大 。(因此扇形面积占圆面积的百分比
，同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比
。)

　针对练习：

　一
、我国国土总面积是960万平方千米。下面是我国地形分布情况统计图，请根据统计图回答问题 。

　1、我国山地面积占总面积的百分之几?

　2 、各类地形中 ，什么地形面积?什么最小?

　3
、你还能得到哪些信息?

　4、请算出各类地形的实际面积
，填入下表。

　地形种类山地丘陵高原盆地平原

　面积(万平方千米)

　二 、小军家2012年11月支出情况统计如下图
。聪聪家2012年11月的总支出是3600元。请你回答问题 。

　1、这个月哪项出最多?支出了多少元?

　2
、文化教育支出了多少元?购买衣物支出了多少元?

　3、购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几?

　4 、你还能提出什么问题?并解决你所提出的问题?

怎样理解分数乘除法法则

小学教材中，分数乘除法的法则分别如下：

? 分数乘法：分母相乘的积做分母 ，分子相乘的积做分子
。也可以这样表述
，分子分母分别相乘做各自的分子与分母。

怎样理解分数乘法法则呢？可以利用长方形面积公式，借助画图的方法让学生明白——分母的积就是产生了新的计数单位；分子相乘就是有多少个这样的计数单位 。

? 分数除法：乘以一个数等于乘以这个数的倒数
。可以发现 ，分数乘除法否认法则很不一致。为何除法变成了乘法呢？而且还是乘以除数的倒数 。这一点，有必要让孩子弄明白了
。

浙江朱国荣老师在讲座中说到：其实
，分数除法法则与乘法法则是一致的，乘法法则是分子分母分别相乘；除法法则就是分子分母分别相除。比如：63/100÷7/10=9/10,就是把63除以7,100除以10得到结果9/10 。这体现了数学的美妙与一致性
。乘法就分别相乘 ，除法就分别相除。

? 但是
，5/8÷3/7怎么办呢？为了让分子
、分母能顺利相除，可以利分数的基本性质把分数做适当变形 。分子分母分别同时乘以3、乘以7 ，最终转化成5×3×7/8×3×7÷3/7=5×7/8×3=5/8×7/3.

? 原来
，乘以一个数等于乘以这个数的倒数是变形后的基本形式。换言之，是分数除法经过一系列变形后的常态
。也就抽象出分数除法法则——乘以一个数等于乘以这个数的倒数。（是抽象中的抽象 。）

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